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调整法证明不等式应用

调整法证明不等式应用

此题背景为均值不等式。

问题

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注意:此段暗含了一个小问题,请一定要看文末附带的问题讨论。

到这我们先暂停一下,看一看现在这个式子。

首先值得注意的是,通过换元这个式子中已经没有t了。也就是说接下去这个要证明的不等式是具有更广泛意义的,像平均值不等式那样。

接着,可以看到这个不等式两边具有高度的对称性:都是bi乘以ln一个数然后求和。

更进一步,注意到αi求和等于1,bi求和除以B也是1,求和式的意义可以说是对每个bi乘上一个对数比例再求和。

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由bi的定义,我们可以调整xi,使得αi在任意取值的时候,bi保持某一组取定的数不变。显然这组取定的数可以从正数中任取。

因而,这个不等式的意义是:对一组给定的正数,按照不同的”对数比例” 加权能求出不同的和;在这些和中有一个最大的,是每一项bi乘上按照bi/B分配的 “最优对数比例” 求和得到的。

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直接考虑该不等式,由于是n元函数不好处理。我们考虑用调整法。此方法本人是最初从 《数学那玩意》 中所见。

此方法的核心思想是证明由 “最优” 比例出发,任何对比例的一点小变动都会使得结果偏离最值。

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问题讨论

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感谢李同学、张同学和朱同学等。

在“调整法证明不等式应用”中,有这么一段。

由bi的定义,我们可以调整xi,使得αi在任意取值的时候,bi保持某一组取定的数不变。显然这组取定的数可以从正数中任取。

因而,这个不等式的意义是:对一组给定的正数,按照不同的”对数比例” 加权能求出不同的和;在这些和中有一个最大的,是每一项bi乘上按照bi/B分配的 “最优对数比例” 求和得到的。

经过讨论,问题出在这个地方。xi是预先给定的,如果调整αi,bi也会跟着变。也就是说,在最后关于αi,bi的求和式中,调整αi后bi已经不是之前的bi。

经过讨论,有这么几种意见和解决办法。

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4.

@上善若水

个人觉得这是两个问题,它们不矛盾。你解决第一个问题的时候确定了a和x证明t的函数,解决第二个问题的时候通过第一题结论证明不等式,最优解是后来定义的,a和x是先前假定不变而方便研究的变量,我们的目的是找到最优解,既然已经求出和b相关的表达式,也就应该把先前简化的条件向后靠拢.

原理与2,3相同,即把这两个问题隔离开来。

5.

@Kaleidoscope

直接利用Janson不等式证明换元之前的不等式。大致过程如下。

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6.

@David Førest the Great

对各种均值不等式有兴趣的童鞋可以看史济怀的《平均》

说一些你的看法~

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