调整法证明不等式应用
此题背景为均值不等式。
问题
注意：此段暗含了一个小问题，请一定要看文末附带的问题讨论。
到这我们先暂停一下，看一看现在这个式子。
首先值得注意的是，通过换元这个式子中已经没有t了。也就是说接下去这个要证明的不等式是具有更广泛意义的，像平均值不等式那样。
接着，可以看到这个不等式两边具有高度的对称性：都是bi乘以ln一个数然后求和。
更进一步，注意到αi求和等于1，bi求和除以B也是1，求和式的意义可以说是对每个bi乘上一个对数比例再求和。
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由bi的定义，我们可以调整xi，使得αi在任意取值的时候，bi保持某一组取定的数不变。显然这组取定的数可以从正数中任取。
因而，这个不等式的意义是：对一组给定的正数，按照不同的”对数比例” 加权能求出不同的和；在这些和中有一个最大的，是每一项bi乘上按照bi/B分配的 “最优对数比例” 求和得到的。
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直接考虑该不等式，由于是n元函数不好处理。我们考虑用调整法。此方法本人是最初从 《数学那玩意》 中所见。
此方法的核心思想是证明由 “最优” 比例出发，任何对比例的一点小变动都会使得结果偏离最值。
问题讨论
感谢李同学、张同学和朱同学等。
在“调整法证明不等式应用”中，有这么一段。
由bi的定义，我们可以调整xi，使得αi在任意取值的时候，bi保持某一组取定的数不变。显然这组取定的数可以从正数中任取。
因而，这个不等式的意义是：对一组给定的正数，按照不同的”对数比例” 加权能求出不同的和；在这些和中有一个最大的，是每一项bi乘上按照bi/B分配的 “最优对数比例” 求和得到的。
经过讨论，问题出在这个地方。xi是预先给定的，如果调整αi，bi也会跟着变。也就是说，在最后关于αi，bi的求和式中，调整αi后bi已经不是之前的bi。
经过讨论，有这么几种意见和解决办法。
4.
@上善若水
个人觉得这是两个问题，它们不矛盾。你解决第一个问题的时候确定了a和x证明t的函数，解决第二个问题的时候通过第一题结论证明不等式，最优解是后来定义的，a和x是先前假定不变而方便研究的变量，我们的目的是找到最优解，既然已经求出和b相关的表达式，也就应该把先前简化的条件向后靠拢.
原理与2,3相同，即把这两个问题隔离开来。
5.
@Kaleidoscope
直接利用Janson不等式证明换元之前的不等式。大致过程如下。
6.
@David Førest the Great
对各种均值不等式有兴趣的童鞋可以看史济怀的《平均》
